[디지털 논리] 2.2 불 대수 심화(Boolean Algebra - Advanced Theory)

XOR(Exclusive-OR)와 XNOR(Exclusive-NOR)

XOR(배타적 논리합)

**두 입력이 서로 다를 때만 참이 되고, 서로 같으면 거짓이 되는 연산이다

논리식: $X\oplus Y=X^{\prime }Y+X{Y}^{\prime }$

논리 기호:

진리표

주요 성질: 항등 및 반저 이 성질들은 수식 간소화 과정에서 매우 자주 쓰인다

• 항등: $X\oplus 0=X$
• 반전: $X\oplus 1=X^{\prime }$
• 자기 자신: $X\oplus X=0$
• 보수: $X\oplus X^{\prime }=1$

XOR의 법칙

• 교환법칙: $X\oplus Y=Y\oplus X$
• 결합법칙: $(X\oplus Y)\oplus Z=X\oplus (Y\oplus Z)=X\oplus Y\oplus Z$
• 분배법칙: $X(Y\oplus Z)=XY\oplus XZ$ (AND 연산이 XOR 안으로 분배 가능)
• 핵심 원리: 여러 개의 변수가 XOR로 연결되어 있을 때, 입력 중 1의 개수가 홀수 개이면 출력은 무조건 1이 된다

XNOR(배타적 부정 논리합)

XOR 연산의 결과에 NOT을 씌운 것으로, 두 입력이 서로 같을 때만 참($1$)이 된다. 값이 일치하는지 판별하기 때문에 동치 연산(Equivalence) 이라고도 부른다

논리식: $X\equiv Y=XY+X^{\prime }{Y}^{\prime }$

논리 기호

진리표

유용한 정리

• $(X{Y}^{\prime }+X^{\prime }Y{)}^{\prime }=XY+X^{\prime }{Y}^{\prime }$ (XOR을 반전시키면 XNOR의 기본형이 됨)

합의 정리(Consensus Theorem)

수식을 간소화할 때, 겉보기엔 필요한 항 같지만 사실은 없어도 결과에 아무런 영향을 주지 않는 잉여항을 찾아 제거하는 아주 강력한 법칙이다

공식: $XY+X^{\prime }Z+YZ=XY+X^{\prime }Z$

• 여기서 YZ 항이 바로 합의 항이며 삭제가 가능하다

합의 항 찾는 법

• 어떤 변수가 한쪽 항에는 정상 상태, 다른 항에는 반전 상태로 존재하는 두 항을 찾는다
• 그 두 항에서 $X$와 $X^{\prime }$를 제외한 나머지 부분($Y$와 $Z$)을 곱한다
• 이 곱한 항이 바로 합의 항이며, 수식에 존재한다면 지워도 결과에 아무런 영향을 주지 않는다

예제:

항을 추가한 뒤, 연쇄적으로 지워서 식을 줄이기

합의 정리의 쌍대성

• SOP (곱의 합): $XY+X^{\prime }Z+YZ=XY+X^{\prime }Z$
• POS (합의 곱): $(X+Y)(X^{\prime }+Z)(Y+Z)=(X+Y)(X^{\prime }+Z)$

대수적 조작 예시

전개하기(Expansion) 괄호로 묶인 POS 형태를 SOP 형태로 풀 때, 다음의 특수 전개 정리를 사용하면 빠르다

인수분해(Factoring) 복잡하게 나열된 SOP 형태를 다시 공통 항으로 묶어 POS 형태로 되돌리는 과정이다