[미분적분학] 1. Derivatives(도함수)

1. 음함수 미분법

음함수

관계식 $F(x,y)=0$을 만족하도록 **암묵적으로 정의되는 함수 $y=f(x)$**를 음함수라고 한다. 하나의 관계식이 전체 구간에서 하나의 함수만을 정하는 것은 아니며, 여러 함수 가지를 나타낼 수도 있다

예를 들어 $x^2+y^2=25$는 $y=\sqrt{25-x^2}$와 $y=-\sqrt{25-x^2}$의 두 가지로 나누어 나타낼 수 있다

음함수 미분법의 절차는 다음과 같다

1. 방정식의 양변을 $x$에 대해 미분한다
2. 미분해서 얻은 방정식을 $\frac{dy}{dx}$에 대해 푼다

주어진 방정식이 $y$를 $x$에 대한 미분 가능한 함수로 암묵적으로 정의한다고 가정한다

연쇄법칙과 분모 조건

$y$도 $x$의 함수이므로, 예를 들어 $n$이 양의 정수일 때 $\frac{d}{dx}(y^n)=n{y}^{n-1}{y}^{\prime }$이다. $y$에 관한 식을 미분할 때는 연쇄법칙에 따라 $y^{\prime }$를 곱한다. $y^{\prime }$를 구하면서 어떤 식으로 나누었다면, 그 식이 0이 아닌 곳에서 결과를 적용한다.

1.1 예시

1.1.1 예시.1

(a) If $x^2+y^2=25$, find $\frac{dy}{dx}$ (b) Find an equation of the tangent to the circle $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$

풀이

1.1.2 예시.2

(a) Find y′ if $x^3+y^3=6xy$ (b) Find the tangent to the folium of Descartes at the point (3, 3) (c) At what point in the first quadrant is the tangent line horizontal?

풀이

1.1.3 예시.3

Find $y^{\prime \prime }$ if $x^4+y^4=16$

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2. 선형 근사와 미분량

2.1 선형 근사

선형 근사

함수 $f$가 $a$에서 미분 가능하면, $x$가 $a$에 가까울 때 곡선 $y=f(x)$를 점 $(a,f(a))$에서의 접선으로 근사할 수 있다

이 접선은 점 $(a,f(a))$를 지나고 기울기가 $f^{\prime }(a)$이므로, 방정식은 다음과 같다. $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

선형화

접선을 나타내는 함수 $L(x)$를 $a$에서의 함수 $f$의 선형화라고 한다

$L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

• $f(a)$: 기준점에서의 함수값
• $f^{\prime }(a)$: 기준점에서의 접선 기울기
• $x-a$: 기준점으로부터의 가로 변화량
• $f^{\prime }(a)(x-a)$: 접선을 따라 예상한 세로 변화량

선형 근사 또는 접선 근사

• 실제 함수값을 접선 위의 값으로 근사하는 것을 선형 근사 또는 접선 근사라고 한다

그림 1. 선형 근사 그래프

$f(x)\approx L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

그림에서 파란색 곡선은 $y=f(x)$, 빨간색 접선은 $y=L(x)$이다. 두 그래프는 접점 근처에서 가까우므로, $x$가 $a$에 가까울 때 접선을 이용해 함수값을 근사할 수 있다

2.1.1 과대근사와 과소근사

과대근사와 과소근사

선형 근사에서 근삿값 $L(x)$가 실제 함수값 $f(x)$보다 크면 과대근사(overestimate), 작으면 **과소근사(underestimate)**라고 한다

이계도함수를 이용한 판단

• 기준점 $a$와 근사하려는 점 $x$를 포함하는 구간에서 이계도함수의 부호를 확인한다

해당 구간의 조건	그래프의 굽은 방향	선형 근사의 결과
$f^{\prime \prime }(x)<0$	위로 볼록, $\cap$, concave down	접선이 곡선 위에 있으므로 과대근사
$f^{\prime \prime }(x)>0$	아래로 볼록, $\cup$, concave up	접선이 곡선 아래에 있으므로 과소근사

기준점에서는 $L(a)=f(a)$이므로 오차가 0이다

판단할 때 주의할 점

$f^{\prime }(x)$는 함수의 증가·감소를, $f^{\prime \prime }(x)$는 그래프의 굽은 방향을 나타낸다. 과대·과소근사는 접선과 곡선의 위치 관계로 판단한다. 이계도함수의 부호가 구간에서 바뀌는 경우에는 위 표를 그대로 적용하지 말고 $L(x)-f(x)$의 부호를 확인한다

2.1.2 선형 근사의 오차

선형 근사의 오차

선형 근사의 오차의 크기는 실제 함수값과 근삿값의 차이의 절댓값이다

$E(x)=|f(x)-L(x)|$

허용 오차가 $\epsilon >0$이고, 오차가 이보다 작아야 한다면,

$|f(x)-L(x)|<\epsilon$

이를 다음과 같이 바꾸어 $x$의 범위를 구할 수 있다 $f(x)-\epsilon <L(x)<f(x)+\epsilon$ 그래프에서는 접선 $y=L(x)$가 두 곡선 $y=f(x)-\epsilon$와 $y=f(x)+\epsilon$ 사이에 놓이는 범위를 뜻한다

부등식을 풀 때는 함수의 정의역을 확인하고, 양변을 제곱하는 경우 양변의 부호를 먼저 확인한다. 오차가 $\epsilon$과 같은 경우까지 포함하는 조건이라면 $\le$를 사용한다

2.1.3 예시

예시.1

Find the linearization of the function $f(x)=\sqrt{x+3}$ at $a=1$ and use it to approximate the numbers $\sqrt{3.98}$ and $\sqrt{4.05}$. Are these approximations overestimates or underestimates?

풀이

예시.2

For what values of $x$ is the linear approximation $\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$ accurate to within 0.5? What about accuracy within 0.1?

풀이

2.2 미분량

미분량

$y=f(x)$가 미분 가능한 함수라고 하자. 미분량 $dx$는 독립변수이며, 임의의 실수로 정할 수 있다. 미분량 $dy$는 다음과 같이 정의한다.

$dy=f^{\prime }(x)dx$

따라서 $dy$는 $x$와 $dx$의 값에 따라 결정되는 종속변수이다

$dy$는 현재 위치에서의 접선 기울기 $f^{\prime }(x)$에 가로 변화량 $dx$를 곱한 값이다 $접선의세로변화량=접선의기울기\times 가로변화량$

• $dx$: 독립적으로 정하는 가로 변화량
• $f^{\prime }(x)$: 기준점에서의 접선 기울기
• $dy$: 해당 가로 변화량에 대한 접선의 세로 변화량

$dx$ 자체는 임의의 실수로 정할 수 있다. 다만, 미분량을 이용하여 실제 함수의 변화량을 근사할 때는 $|dx|$가 충분히 작아야 좋은 근사를 기대할 수 있다

2.2.1 실제 변화량 $\Delta y$와 미분량 $dy$

그림 2. 변화량 표시

함수의 그래프 위에 두 점 $P=(x,f(x)),Q=(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 를 잡고, $dx=\Delta x$로 둔다. 이때 함수의 실제 변화량은 다음과 같다 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 이는 곡선을 따라 이동했을 때 함수값이 실제로 증가하거나 감소한 양이다. 한편, 점 $P$에서의 접선 기울기는 $f^{\prime }(x)$이므로, 같은 가로 변화량에 대한 접선의 세로 변화량은 다음과 같다 $dy=f^{\prime }(x)dx$ 이는 접선을 따라 이동했을 때 높이가 증가하거나 감소한 양이다

구분	실제 변화량 $\Delta y$	미분량 $dy$
기준	함수의 곡선	현재 점에서의 접선
의미	곡선이 실제로 올라가거나 내려간 양	접선이 올라가거나 내려간 양
공식	$f(x+\Delta x)-f(x)$	$f^{\prime }(x)dx$
그림에서의 구간	$S$에서 $Q$까지의 세로 변화량	$S$에서 $R$까지의 세로 변화량

여기서 $S$는 $P$와 높이가 같고 $Q$ 바로 아래에 있는 점이며, $R$은 $Q$와 같은 가로 좌표에 있는 접선 위의 점이다. 세로 변화량은 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수이다

$dy$와 $\Delta y$ 구별하기

$\Delta y$는 곡선에서의 실제 변화량이고, $dy$는 접선으로 계산한 변화량이다. 일반적으로 두 값이 정확히 같지는 않다

2.2.2 미분량을 이용한 근사

기준점 근처에서는 곡선과 접선이 가까우므로, $|\Delta x|$가 충분히 작으면 실제 변화량을 미분량으로 근사할 수 있다 $\Delta y\approx dy$ 즉, $f(x+\Delta x)-f(x)\approx f^{\prime }(x)\Delta x$ 양변에 $f(x)$를 더하면, $f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x$ 를 얻는다

이는 새로운 함수값을 ‘기존 함수값 + 접선으로 계산한 변화량’으로 근사한다는 뜻이다

2.2.3 선형 근사와 미분량의 관계

기준점을 $a$, 근사하려는 가로 좌표를 $x$라고 하자. $dx=x-a$로 두면 $x=a+dx$이다. 기준점 $a$에서의 미분량은 $dy=f^{\prime }(a)dx$ 이므로 선형 근사 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다

$$\begin{array}{rl}f(x)& \approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)dx\\ & =f(a)+dy\end{array}$$

따라서 $f(a+dx)\approx f(a)+dy$이다

표현 방식	공식
선형 근사	$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$
미분량을 이용한 표현	$f(a+dx)\approx f(a)+dy$
두 표현의 연결	$dx=x-a,dy=f^{\prime }(a)dx$

기준점 확인

기준점이 $x$이면 $dy=f^{\prime }(x)dx$, 기준점이 $a$이면 $dy=f^{\prime }(a)dx$이다. 두 식은 같은 정의이며, 어느 점에서의 변화량을 계산하는지에 따라 표기가 달라진다

예시.3

The radius of a sphere was measured and found to be 21cm with a possible error in measurement of at most 0.05cm. What is the maximum error in using this value of the radius to compute the volume of the sphere ?

풀이

2.2.4 상대오차와 백분율 오차

상대오차

상대오차는 오차의 크기를 기준이 되는 값의 크기로 나눈 값이다. 값 자체의 크기에 비해 오차가 얼마나 큰지를 나타낸다

부피 $V>0$에 실제 오차 $\Delta V$가 있을 때, 상대오차의 크기는 다음과 같다 $상대오차=\frac{|\Delta V|}{V}$ 실제 오차를 직접 계산하기 어려우면 미분량을 이용하여, $\Delta V\approx dV$로 근사할 수 있으므로 아래 식이 된다 $상대오차=\frac{|\Delta V|}{V}\approx \frac{|dV|}{V}$ $\Delta V/V$는 부호를 포함한 상대적인 변화 또는 오차이고, $|\Delta V|/V$는 상대오차의 크기이다. 오차의 크기를 구할 때는 절댓값을 사용한다

상대오차에 100%를 곱하면 백분율 오차가 된다. 상대오차는 같은 단위끼리 나누므로 단위가 없다

측정 오차에 적용하는 방법

부피가 측정값 $x$의 함수 $V=V(x)$로 주어지고, $x$의 작은 측정 오차를 $dx$로 두면 $dV=V^{\prime }(x)dx$이므로 $부피의상대오차\approx \frac{|V^{\prime }(x)dx|}{V(x)}$ 로 계산한다. 위 구의 예제에서는 $V=V(21)$, 즉 측정 반지름으로 계산한 부피를 기준으로 삼는다. 따라서 상대오차의 최대 추정값은 $\frac{|dV{|}_{\max }}{V(21)}=\frac{4\pi (21{)}^2(0.05)}{\frac{4}{3}\pi (21{)}^3}=\frac{3(0.05)}{21}=\frac{1}{140}$ 이며, 백분율 오차는 약 $0.714\%$이다.

두 종류의 오차 구별하기

측정 오차를 미분량으로 추정한 값은 $|dV|$이고, 그 근사 자체의 오차는 $|\Delta V-dV|$이다.
이 슬라이드의 $\frac{dV}{V}$는 측정 오차가 부피에 미치는 영향을 추정할 때 사용하는 식이다